ALTBRAIK TOPOLOGIYASINING OTASIDA POINKARNING ROLI

Source: https://www.lehigh.edu/~dmd1/poincare.html

Don Davis

1999 yil noyabr, Garvardda “Ilm va San’at/Poinkar va Dyuchamp” konferentsiyasida 10 daqiqalik nutq

Rhonda “Men = Matematikaning tabiati va kuchi” kitobida Poincare haqida yozgan narsalarim tufayli meni ushbu konferentsiyaga taklif qildi. ([D]) Ushbu kitob texnik bo’lmagan auditoriya uchun yozilgan, aniqrog’i, men liberal san’at talabalariga dars bergan “Matematik tafakkurga kirish” kursi.
Lehigh universitetida. Ronda yoqtirgan o’ziga xos material shundaki, sferik olamdagi 2 o’lchovli mavjudotlar geometriyadan qanday qilib ular sharsimon dunyoda ekanliklari va qanday qilib o’sha dunyo g’ayrioddiy geometriya qoidalari bilan yassi dunyo sifatida taqlid qilinishi mumkinligi haqida. Bular Poincarening “Ilm va gipoteza” kabi mashhur yozuvlarida keltirgan g’oyalar. ([P3])

Biroq, mening mutaxassisligim algebraik topologiyadir va ushbu konferentsiya Poincarening yarmi bo’lganligi sababli va Poincare umuman algebraik topologiyaning dastlabki tarixidagi eng muhim shaxs deb hisoblanganligi sababli, Poincarening o’rni haqida bir necha so’z aytishga qaror qildim. algebraik topologiyaning rivojlanishi.

Topologiya, tom ma’noda sirtlarni o’rganish geometriyaning bir shakli bo’lib, unda biz uzunlik va egrilik kabi aniq o’lchovlarga ahamiyat bermaymiz, aksincha, teshiklarning soni va turlari, o’zgarmaydigan xususiyatlar kabi xususiyatlar bilan shug’ullanamiz. cho’zish kabi doimiy o’zgarishlar. Algebraik topologiyada biz ko’pincha ushbu umumiy yuzalar haqidagi savollarni algebradagi savollarga qisqartiramiz va keyin algebraik savollarni o’rganamiz.

Mavzu sifatida topologiya nemis matematiklari Rimann ([R1]), Listing ([L]), Mobius ([M]) va Klein ([K]) asarlarida 1850 yildan 1870 yilgacha shakllana boshladi. har bir yo’naltiriladigan 2 o’lchovli sirt ma’lum miqdordagi teshiklari bo’lgan eshak yuzasiga teng ekanligini. Bu erda “yo’naltirilishi mumkin” degani bu texnik atama bo’lib, siz vektorlarni doimiy ravishda butun yuzadan chiqarib turishingiz mumkin va “ekvivalent” degani siz doimiy ravishda
bir sirtni boshqasiga yirtib yoki aralashtirmasdan deformatsiya qilishi mumkin. Eshakning yuzasi, shuningdek, torus deb ataladi, 2 o’lchovlidir, chunki agar uni to’liq egiluvchan yamalar bilan qoplash mumkin bo’lsa. Inertube haqida o’ylab ko’ring. Biz qattiq donni o’ylamasligimizni ta’kidlaymiz, faqat uning tashqi yuzasi. Mana bu ikki o’lchovli sirtlarning ba’zi modellarining rasmlari.

Rimann ([R2]) tufayli erishilgan birinchi yutuq n har qanday musbat butun son uchun n o’lchovli manifoldlarni o’rganish edi. N-o’lchovli manifold – bu torus 2 o’lchovli patlardan tashkil topganligini aytib o’tganimizdek, ularning har biri n-o’lchovli to’pga teng keladigan narsa. Biz odatda n o’lchovlar bilan muomala qilamiz, garchi Poincaré o’lchovlilikka ko’proq geometrik yondashuvlar kiritildi.

1895 yilda nashr etilgan “Tahliliy Situs” ([P1]) nomli uzun bir qog’ozda, Poincare algebraik miqdorlarni kiritish orqali mavzuni inqilob qildi. Ikkala topologik bo’shliq bu miqdorlarning har biriga nisbatan farq qiladi, keyin bu bo’shliqlar teng emasligini, ya’ni ikkinchisiga deformatsiya qilinmasligini aniq aytish mumkin. Masalan, yuqorida ko’rsatilgan n-holli torusning birinchi gomologik guruhi, 2n darajali bepul abelian guruhi deb nomlanadi va n ning turli qiymatlari uchun bu guruhlar bir-biridan farq qiladi, bo’shliqlar bir-biriga teng emas deb ta’kidlash mumkin. Birinchi gomologiya guruhi va asosiy guruh ikkalasi bir-birlaridan farqli o’laroq, topologik fazoda turli xil ilmoqlarni ko’rib chiqadilar. Aslida, n-holli torusning har bir teshigi uning atrofida ikki xil pastadirga ega. Poincarening bu g’oyalarni dastlabki muomalasi unchalik qattiq bo’lmadi, ammo ushbu hujjat keyingi 30 yillik topologiyada ishlash uchun asos yaratdi.

Bundan tashqari, ushbu hujjatda va uning qo’shimchalarida, Poincare fundamental guruh va gomologik guruhlar makonni qay darajada tavsiflashini o’rganib chiqdi. Ya’ni, agar ikkita bo’shliq bir xil fundamental guruhga va bir xil homologik guruhga ega bo’lsa, ular mutlaqo teng keladigan topologik fazolarmi? Kamida bitta kamchilikdan keyin urinishida u 3 o’lchovli to’plam bir xil fundamental guruhga va 3 o’lchovli sferadagi gomologik guruhlarga teng bo’lgan sohaga teng bo’lishi kerak degan taxminni bayon qildi. Ikkita sharh bu erda tartiblangan: 3 o’lchovli sfera, biz ilgari tasvirlagan sfera emas. Bu ikki o’lchovli edi. Uch o’lchovli sfera – bu kattaroq kattalikning analogidir. Ikkinchidan, tenglik tushunchasiga ega bo’lgan ba’zi bir parvarish talab etiladi. Bu erda topologik ekvivalentlik, ikkita bo’shliqning nuqtalari orasidagi bo’shliqqa yaqin joylashgan nuqtalar, boshqa bo’shliqda yaqinroq bo’lgan nuqtalarga to’g’ri kelishini anglatadi.

Bu 3 o’lchovli Poincaré taxmini deb nomlanuvchi ushbu muammo hanuzgacha hal etilmagan, ehtimol topologiyadagi eng mashhur va muhim savol. Xuddi shu savolni 3 emas, balki har qanday o’lchovning har xil to’plamlari uchun ko’tarish mumkin va istehzo bilan, u dastlab taxmin qilingan 3-o’lchovdan tashqari barcha o’lchovlarda haqiqat ekanligi isbotlangan. Ko’rinishi mumkin Qarama-qarshi bo’lib, muammo 3 o’lchovli manifoldlarga qaraganda yuqori o’lchovli manifoldlar uchun osonroq; 3 o’lchovdagi qiyinchilikning sababi shundaki, ba’zi turdagi o’zgarishlarni amalga oshirish uchun kamroq joy mavjud.

5 va undan yuqori o’lchovlarda bu umumlashtirilgan Poincaré taxminini 1960 yilda Stefan Smeyl ([S1]) tasdiqladi, u o’sha paytda Princeton va Rio-de-Janeyrodagi tadqiqot institutlari bilan aloqada bo’lgan postdoctoral hamkori edi. Bir necha yil o’tgach, Smeyl ba’zi byurokratlarga ularning grant mablag’lari qanday sarf qilinishini oqlashi kerak edi va uning “eng taniqli ishi Rio-de-Janeyro plyajlarida qilingan” degan iborasi keng ommalashdi. ([S2]))

1981 yilda San-Diyegodagi Kaliforniya universiteti mutaxassisi Maykl Freedman ([F]) tomonidan 4-o’lchovdagi umumlashtirilgan Puinkarining taxminlari tasdiqlandi. Smale ham, Freedman ham o’z ishlari bilan juda mashhur bo’lishdi. Ikkalasi ham Nobel mukofotining matematik ekvivalenti bo’lgan Fields Medaliga sazovor bo’lishdi.

Freydman ishining bir zarbasi sifatida 1982 yilda Oksford aspiranti Saymon Donaldson ([Do]) R4 ga topologik jihatdan teng bo’lgan va farqlanadigan ko’p qirrali topologik bo’shliq borligini va bu silliqlik tushunchasiga ega ekanligini isbotladi, ammo bunda silliqlik tushunchasi R4 standart versiyasidan tubdan farq qiladi. Bu natija matematiklar va fiziklarni hayratda qoldirdi, chunki boshqa barcha o’lchovlarda Evklid fazosida silliqlik haqida faqat bitta taxmin tushunchasi mavjud. Bu juda qiziq, chunki ko’pgina fiziklar ishlaydigan fazoviy vaqt 4 o’lchovlidir. Donaldson, shuningdek, qilgan ishlari uchun “Fields” medali bilan taqdirlandi.

Xulosa qilib aytganda, bu ishlarning barchasi Poincarening dahosiga borib taqaladi.

ADABIYOTLAR

D.  D.M.Davis, The Nature and Power of Mathematics, Princeton (1993).
Do. S.Donaldson, An application of gauge theory to four-dimensional topology,
Jour Diff Geom 18 (1983) 279-315.
F.  M.Freedman, The topology of four-dimensional manifolds, Jour Diff Geom 17
(1983) 357-454.
K. F.Klein, Bermerkungen über den Fusammenghang der Flächen, Math. Annalen 7
(1874) 549-557. 
L.  J.B.Listing, Vorstudien zur Topologie, (1848).
M.  A.F.Möbius, Theorie der elementaren Verwandtschaft, Werke 2 (1863) 433-471.
P1. H.Poincaré, Analysis Situs, J. Ec. Polytech ser 2, vol 1 (1895) 1-123.
P2. H.Poincaré, Cinquième complément à l’analysis situs, Palermo Rend 18 (1904)
45-110. 
P3. H.Poincaré, Science et Hypothesis, (1902).
R1. G.F.B.Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie des Functionen einer
veränderlichen complexen Grösse, Werke 2nd ed (1851) 3-48. 
R2. G.F.B.Riemann, Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen,
Werke 2nd ed (1854) 272-287.
S1. S.Smale, Generalized Poincare Conjecture in dimensions greater than four,
Annals of Math 74 (1961) 391-406.
S2. S.Smale, The Story of the Higher Dimensional Poincare Conjecture (What
actually happened on the beaches of Rio), Math Intelligencer 12 (1990) 44-51.