Dalillarga kirish

Source: http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.introduction.html

Larry W. Cusick

Dalillar matematikaning yuragidir. Agar siz matematik bo’lsangiz, u holda siz dalillarga asoslanib kelishingiz kerak – ularni o’qish, tushunish va yozishingiz kerak. Yashirin nima? Qanday sehrni bilishingiz kerak? Qisqa javob: sir, sir, sehr yo’q. Kerak bo’lgan hamma narsa, ba’zi bir ishonchli va tushunarli metodlarni bir necha ishonchli va oddiy tushunishdir.

Bir isbot tarkibi

Bir dalil asosiy tuzilishi oson: u bayonotlar faqat bir qator, ikki bo’lish har biri

  • An taxmin yoki
  • A tuzish, aniq bir taxmin yoki ilgari isbot natijasida quyidagi.

Bu hammasi. Ba’zan tushunarli qilib aytadigan bo’lsak, bu faqat o’quvchi uchun va dalilning tuzilishiga mantiqan to’g’ri kelmaydi.

Yaxshi yozilgan dalil oqadi. Boshqacha aytganda, o’quvchilar o’zlarini bevosita va muqarrar ravishda xohlagan xulosaga olib boradigan safarga olib borilayotgan kabi his qilishlari kerak. Har bir qadam aniq bo’lishi yoki hech bo’lmasa aniq asoslanishi kerak. Yaxshi isbot qilish oson.

Agar dalil bilan yakunlangandan so’ng, yuqoridagi oddiy testni har bir jumlaga tatbiq eting: (a) taxminiymi yoki (b) oqilona xulosa? Agar hukm sinovdan o’tmagan bo’lsa, ehtimol bu dalilga tegishli emas.

Misol: 2-chizikli ildizning nosimmetrikligi

Dalillarni yozish uchun siz dalillarni o’qishingiz kerak. Quyidagi dalillarga rioya qilishingizni tekshirib ko’ring. Sizga qanday dalil bo’lishi mumkinligi haqida tashvishlanmang (yoki bo’lmasa). Yuqorida keltirilgan mezonlarga qarab, isbotni o’qing. Har bir jumla aniq taxmin yoki xulosa bormi? Hujjat oqimi bormi? Teorema aslida isbotlanganmi?

Biz dalil Oldin, uning bir necha ta’riflar eslaylik. A haqiqiy son deb ataladi oqilona p/q: u ikki butun sonlarning nisbati sifatida ifodalanishi mumkin bo’lsa. Qadimgi yunonlar barcha raqamlari oqilona edi, deb o’yladim. Oqilona emas bir qator deb ataladi bo’ladi irratsional. Ehtimol, deb ishonaman  p irratsional sondir. (Bu isbotlash uchun oson emas, deb sizni hayratga solishi mumkin.) Yunonlar 2 kvadrat ildiz, arifmetik juda poydevori shubha ostiga olindi ratsional son emas isbotladi qachon. Bu yunon geometriya keyinchalik-yashnab, barcha raqamlari rasyonaliteye tayangan holda geometrik muomala mumkin, deb sabablaridan biri hisoblanadi.

Biz kerak bo’ladi, deb yana bir haqiqatdir Arifmetika asarining asosiy teoremasi. Bu qiziqarli burg’ulash teorema har musbat butun bosh raqamlar bir mahsulot sifatida noyob vakilligini bor haqiqatni ko’ra ko’proq narsa emas. Biz foydalanamiz dalil texnikasi bilan isbotidir qarama. Siz bu ma’nosini tushunish uchun, har qanday maxsus bilim kerak emas. Bu juda ham oson. Biz 2 kvadrat ildiz deb taxmin qiladi deb ratsional son va qarama etib, keyin. Agar isbot har bir chiziq tushunish ishonch hosil qiling.

Teorema. 2 kvadrat ildizi irratsional sondir.

Isbot. Keling, 2-chi kvadrat ildizini ifodalaylik. Keyin, ta’rifi bo’yicha, tenglamani qondiradi

s2 = 2.
Agar u aql-idrok raqam bo’lsa, biz yoza olamiz

s = p/q

Qaerda p va q juftlik tamsayılar bo’lsa. Infact, zarur bo’lsa, umumiy ko’pikni ajratish orqali, biz hatto p va q umumiy soniga ega bo’lmasliklari mumkin (1dan tashqari). Agar hozir uni birinchi tenglamaga almashtirsak, bir oz algebra so’ng, tenglama

p2 = 2 q2 .

Ammo endi, Arifmetikning asosiy teoremasi tomonidan, sonning asosiy omillashuvida 2 ko’rinishi kerak p2 (chunki u xuddi shu sonda paydo bo’ladi 2 q2). O’z-o’zidan o’zi 2-raqam bo’lgani sababli, sonning asosiy omillashuvida 2 paydo bo’lishi kerak p. Ammo keyin, 22 ning asosiy omillashuvida namoyon bo’ladi p2, va shu sababli ham 2 q2. 2 ni ajratib, keyin 2 ning asosiy omillashuvi ko’rinadi q2. Bundan oldin bo’lgani kabi (bilan p2) 2-xulosa chiqarishimiz mumkin q. Lekin hozir bizda p va q asosiy omilni almashish, ya’ni 2. Bu yuqoridagi bizning taxminni buzadi (agar siz uni topa olmasangiz) p va q boshqa birortasi ham yo’q 1.