Königsberg ko’prigi

Source: http://www.efgh.com/math/koenigsberg.htm

LOGO
Philip J. Erdelsky

9-iyun, 2015-yil

Matematikaning klassik muammolaridan biri XVIII asrda Shveysariya matematigi Leonhard Euler tomonidan hal qilingan Königsberg Bridges. Hal qilish oson va juda oson.

Dengiz Königsberg (hozir Kalingrad) shahri orqali o’tadi. Daryoda ikki orol bor. Ushbu eski xaritada ko’rsatilgandek, orollar va banklarni bog’langan etti ko’prik:

Ikki daryo kanallari xaritaning o’ng tomonidan bir joyga to’planadi.

Ko’pchilik Königsberg atrofida aylanib, har bir ko’prikni bir marta va faqat bir marta kesib o’tishga harakat qilardi, ammo hech kim buni qila olmadi. Euler bu vazifani amalga oshirish mumkin emasligini ko’rsatdi. Uning dalili faqat arifmetikaning ba’zi asosiy bilimlarini va teng va teng sonlarning xususiyatlarini talab qiladi.

Eulerning ajoyib fikri, agar uni chaqirish mumkin bo’lsa, uning sonini hisoblash kerak edi har bir erga ulangan ko’prik TUGAYDI:

  • shimoliy qirg’og’ida 3
  • Janubiy qirg’og’ida 3
  • xarita markazida orolida 5
  • xarita o’ng tomonida orolda 3

Har bir ko’prikni bir marta va bir marta kesib o’tgan yurish Euler yurishi (yoki Euler yo’li) deb ataladi.

Agar Euler yurishi ma’lum bir erga boshlamasa yoki tugamasa, unda bir narsa bo’lishi kerak u bilan bog’liq ko’priklarning JUF SON, chunki bu erni bir ko’prik orqali kiradigan Euler yurgan odam uni boshqa joyga qoldirishi kerak. Agar Euler yurishi ma’lum bir erga qarab yurish boshlansa yoki tugasa, u bilan bog’langan ko’priklar soni TOQ.

To’rt dona erning har biriga bir-biriga bog’liq ko’p sonli ko’prik bo’lgani uchun, Euler yurishi mumkin emas ekan.

Königsberg ko’prigi grafika deb ataladigan umumiy matematik strukturaning namunasidir.

Grafika, Königsberg’ning ko’prigi qismlariga mos keladigan ko’p sonli tepaliklardan (tugunlar deb ham ataladi) va cheksiz sonli qirralardan iborat (ko’priklarga to’g’ri keladi). Biz ularni ko’prik deb ataymiz. Bundan tashqari, mavjud bo’lmagan yurishlar bilan bog’liq qiyinchiliklarni bartaraf qilish uchun biz kamida bitta vertikal bo’lishi kerak.

Bu erda Königsberg grafigining xulosasi:

Grafika Königsberg ko’prigidan ko’proq umumiy bo’lishi mumkin. Masalan, ko’prik vertikalni o’zi bilan bog’lashi mumkin va vertikalar bitta tekislik bilan chegaralanmasligi kerak. Bir-biriga bog’langan ko’priklar bo’lmagan izolyatsiya qilingan vertex ham mumkin.

Muayyan vertikani bog’lovchi ko’priklarning soni uning darajasi (yoki valentlik) deb ataladi.

Eulerning argumentlari, agar Euler yurishi mumkin bo’lsa, (1) barcha tepaliklar hatto daraja bo’lsa ham, bu yurish bir xil tepada boshlanadi va tugaydi yoki (2) yurish boshlangan va tugaydigan ikki vertikal daraja va boshqa barcha vertikalar ham daraja.

Eulerning ikki xarakati yaqqol ko’rinib turibdi. Euler yurishining teskari tomoni Euler yurishidir va Euler yurishi bir xil tepalikda boshlanib, tugaydi, u boshqa har qanday tepalikda ham boshlanishi va tugashi mumkin.

Bu shartlar ham etarli bo’ladimi? Aniq emas. Grafika ham bir-biriga ulanishi kerak, ya’ni har bir tepadan har qanday tepalikka bir yo’l bo’lishi kerak (Euler yo’li emas).

Bir Euler yurishining mavjudligi gorizontal darajaga ega emas yoki ikki darajali vertikal tekisliklari bo’lmagan holda tasdiqlash biroz qiyinroq, ammo u ilgari bo’lmagan matematikani o’z ichiga olmaydi.

Birinchidan, barcha vertintslar teng darajadagi bog’langan bir grafikni ko’rib chiqing. Qaysi ko’priklarni kesib o’tganligini kuzatib, bir tepalikda yurishni boshlang. Har bir tepalikka kirganingizda, uni ilgari kesib o’tmagan ko’prik orqali qoldiring. Agar u boshlang’ich vertex bo’lmasa, unda siz bir o’ralgan ko’prik bilan kirsangiz, uni har doim boshqasidan ajratishingiz mumkin. Siz ketganingizdan so’ng, tepalikda hali ko’p bo’lmagan ko’priklar mavjud.

Yurish boshlang’ich verteksiga qaytganingizda va uni tashlab ketish uchun ochilmagan ko’prikni topa olmaganingizda to’xtashingiz kerak.

Har bir ko’prikni kesib o’tishga muvaffaq bo’lsangiz, yurish tugadi.

Agar yana kamida bitta ochilmagan ko’prik bo’lsa, yurish kengaytirilishi kerak.

Shunga qaramasdan, har bir tepalikda hali ko’p bo’lmagan ko’priklar mavjud.

Grafika ulanganligi sababli, boshlang’ich vertikasidan ochilgan ko’prikli vertikaga yo’l bor. Ushbu yo’lda ochilgan ko’prik bilan birinchi vertexni ko’rib chiqing. Bu yurish kerak. A burchagini A ga qo’ng’iroq qiling.

Endi A tepasida boshlang va ikkinchi piyoda yo’lni bosib o’ting, faqat bu yo`lda yoki birinchi bo`lib o`tgan ko’priklarni o`tkazing. Avvalgidek, piyoda yurish faqat A tepasiga qaytganingizda tugaydi.

Keling, ikkita yurishni bir marshrutga birlashtiramiz. Buni qilishning eng oson usuli – vertex Ada birinchi yurishni boshlashdir. A tepasiga qaytsangiz, ikkinchi yurish qiling.

Agar siz hali ham kamida bittasi bo’lmagan ko’prik bo’lsa, barcha ko’priklar kesilmaguncha ushbu jarayonni davom ettirishingiz mumkin.

Grafikda faqat bitta vertex va kamida bitta ko’prik bo’lsa, nima bo’lishini so’rashingiz mumkin. Grafika bir-biriga ulanganligini, vertikaning darajasi ham borligini va Euler yurishi borligini ko’rsatish oson. Faqatgina bir tepalikka ega bo’lgan va faqat ko’prik bo’lmagan grafika mutlaqo istisno emas, ammo bog’liqlik tushunchasi va Euler yurishi bu holatda juda ozdir.

Bu har bir tepalikning teng darajaga ega bo’lgan bog’langan grafik uchun kerakli natijadir. Endi ikki darajali B va C vertikal darajadagi bir grafikni ko’rib chiqing. B va C nuqtalarini birlashtiradigan ko’prikni kiritish bilan biroz kattaroq grafika yarating. Ushbu grafadagi barcha vertikalar teng darajaga ega, shuning uchun Euler yurishi bor. Ushbu yurishning bir bo’lagi vertex B-dan vertex C-ga yoki aksincha yangi ko’prikni kesib o’tishni o’z ichiga oladi.

Bu Euler yurishida, B va C vertikalar orasidagi yangi kesishmasiz yurish, asl grafada Euler yurishidir.